如何抽取样本方差的分布

样本方差的分布其实是服从一个$\chi^2$分布的。所以，要抽样样本的方差只要知道这个分布是啥就行了。我们直接给出定理，然后证明，最后给个例子。

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定理

假设： 1、$X_1,\cdots,X_n$是来自一个正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的$n$个样本 2、$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$是样本的均值 3、$S^2= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$是样本的方差

那么有： 1、$\bar{X}$与$S^2$是相互独立的。 2、$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^2(X_i-\bar{X})}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$

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我们来证明一下第二个结论（如果您想直接看如何抽样，那就记住这个定理，跳过本段证明即可） 首先，假设有个$W$如下：

\begin{aligned}

W &= \sum_{i=1}^n (\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2 \\

&\\

&= \sum_{i=1}^n (\frac{ (X_i-\bar{X})^2- (\bar{X}-\mu)^2 }{\sigma})^2 \\

&\\

&= \sum_{i=1}^n(\frac{ X_i-\bar{X}}{\sigma})^2 + \sum_{i=1}^n(\frac{ \bar{X}-\mu}{\sigma})^2 + \frac{2}{\sigma^2}( \bar{X}-\mu)\sum_{i=1}^n( X_i-\bar{X}) \\

&\\

&= \sum_{i=1}^n(\frac{ X_i-\bar{X}}{\sigma})^2 + \sum_{i=1}^n(\frac{ \bar{X}-\mu}{\sigma})^2 + \frac{2}{\sigma^2}( \bar{X}-\mu)(\sum_{i=1}^nX_i-n\bar{X}) \\

&\\

&= \sum_{i=1}^n(\frac{ X_i-\bar{X}}{\sigma})^2 + \sum_{i=1}^n(\frac{ \bar{X}-\mu}{\sigma})^2

\end{aligned}

前面我们已经定义了样本方差，有：

\begin{aligned}
S^2 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 \\

&\\

(n-1)S^2 &= \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 \\

\end{aligned}

因此，前面的公式可以改写成：